Чему равно число фибоначчи

чему равно число фибоначчи

1.3. Золотое сечение и числа Фибоначчи

“Древние, - писал Г.Д.Гримм, - понимали пропорцию следующим образом: “Две части или две величины не могут быть. связаны между собой без посредства третьей. Достигается это. п ропорцией (аналогией), в которой из трех чисел. среднее так относится ко второму, как первое к среднему, а также второе к среднему, как среднее к первому” [50, с. 7]. Под пропорцией здесь понимается отношение частей целого между собой и с целым; очевидна особая роль среднего пропорционального. Оно содержит в себе, как считает М.А.Марутаев. “качественное обобщение, т.к. оно выражается одним числом, а не множеством” [89, с. 162]. Очевидно, что отдельные конкретные числа и отношения способны выражать не только количество, но и “качество”. Именно поэтому пропорции так существенны в выражении гармонии. Примером “качества”, представленного в отношении, является золотое число. Итак, гармония связана с числами; это ведет к пропорциям особого рода. Учение о золотом сечении возникло в результате тщательного исследования природы чисел. Считается, что деление отрезка в среднем и крайнем отношении впервые было осуществлено великим философом и геометром Древней Греции Пифагором, хотя по мнению Б.Л.Ван-дер-Вардена [26] Пифагор, возможно, позаимствовал его у египтян и вавилонян. Было показано, что отрезок единичной длины AB можно разделить на две части точкой С так, что отношение большей части ( CB=x ) к меньшей (AС=1-x) будет равняться отношению всего отрезка (AB=1) к его большей части (CB): С B /AC=(AC+CB)/CB, т.е. x /(1-x) =1/ x. Отсюда имеем алгебраическое выражение

x2 + x - 1 = 0.

Положительным корнем этого уравнения является (-1+ )/2, так что отношение 1/ х в рассматриваемой пропорции равно числу

Такое деление Пифагор называл золотым делением или золотой пропорцией. Число 1,618 принято обозначать буквой Ф в честь древнегреческого скульптора Фидия, часто использующего золотую пропорцию в своих творениях. В соответствии с делением в среднем и крайнем отношении единичный отрезок АВ точкой С делится следующим образом:

1. 0,618 = 0,618. 0,382 = 1,618

или иначе

0,382 + 0,618 = 1.

Письменные свидетельства, известные человечеству, о золотой пропорции впервые приводятся в ”Началах” Евклида (3 в. до н.э.). Евклид использовал вслед за пифагорейцами золотую пропорцию для построения правильных пятиугольников и десятиугольников. Пятиугольник, точнее пентаграмма, считался у пифагорейцев священным, поскольку эта фигура симметрична и в то же время воплощает в себе некоторую асимметрию - золотую пропорцию, полученную соотношением неравных частей отрезка. В силу своих особых свойств пентаграмма считалась у пифагорейцев символом жизни и здоровья. Существуют всего пять правильных многогранников: четырехгранник (тетраэдр), шестигранник (куб), восьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр) и двадцатигранник (икосаэдр). Все эти многогранники были известны древним грекам и получили название платоновых тел по имени Платона, впервые их систематически описавшим. Каждое из них символизировало какое-то из 5 “начал” или “стихий”: тетраэдр - тело огня, октаэдр - тело воздуха, гексаэдр (куб) - тело земли, икосаэдр - тело воды, - додекаэдр - тело мира (вселенской души, эфира или разума). В средние века И.Кеплер (1571-1630) представил модель Солнечной системы в форме последовательности вложенных друг в друга политонов ( платоновых тел). Евклидом была показана возможность построения всех правильных многогранников на основе деления отрезка в среднем и крайнем отношении [73]. В последствии золотым делением занимались Гипоксил (2 в. до н.э.), Папп (3 в. до н.э.), Дж. Компано из Наварры (13 в .). Как считает Э.М.Сороко [121], термин “золотое сечение” происходит от Птолемея. Закрепилось это обозначение и стало популярным благодаря Леонардо да Винчи (1452-1519), который часто его использовал.

В 1202 г. вышло в свет сочинение " Liber abaci " итальянского математика Леонардо Пизанского (1180-1240), известного, однако, больше как Фибоначчи. В книге излагается множество задач. Одна из них ставится и решается следующим образом.

“Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается? Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца своего рождения. Так как 1-я пара в 1-м месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажется две пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце окажется 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родится еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5”, и т.д. Свое решение задачи Фибоначчи представляет так: “Мы складываем первое число со вторым, т.е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т.е. 144 и 233; и мы получим общее число кроликов, т.е. 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев”. Обозначив число кроликов в n-ый месяц через fn. а в следующие месяцы - fn+1. fn+2 и т.д. последовательность чисел ряда Фибоначчи можно представить формулой

fn+2 = fn + fn+1.

И.Кеплер установил, что fn+1 / fn ® Ф. а Р.Симпсон (1687-1768) строго доказал, что

fn+1/ fn=Ф. В 1843 г. Ж.Бине нашел формулу, определяющую n-член фибоначчиевой последовательности,

fn =( F -1/(-5) n ) /

.

Позднее было установлено, что не только классический ряд Фибоначчи, но и всякий ряд с рекуррентным свойством с любыми начальными членами a и b порождает последовательность a+b. a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b и т.д. отношение соседних членов которой по мере удаления от начала стремится к величине Ф =1,618. Примером такой последовательности может служить ряд Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 и т.д.

С золотым сечением и числами Фибоначчи связаны целые области в культуре, науке и практической деятельности человека с древности до наших дней. Известно [121], что многие египетские архитектурные памятники построены на основе пропорции золотого сечения и чисел Фибоначчи. Например, с числами

55, 89, 144 связаны не только внешние пропорции пирамид, но и внутренние - зал фараона (пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина ). Золотая или божественная пропорция, являясь чисто математическим соотношением, получила широкое применение в творениях скульпторов и архитектуре Древней Греции. У древних греков все сколько-нибудь крупные архитектурные сооружения (храмы, стадионы, амфитеатры) построены таким образом, что в них многообразно представлена золотая пропорция. Фригийские гробницы и античный Парфенон, театр в Эпидавре и театр Диониса в Афинах - яркие образцы ваяния и зодчества, исполненные глубокой гармонии на основе золотого сечения. Если в Древнем Египте закон золотого деления используется спорадически, то в Древней Греции - постоянно. В средние века интерес к золотому сечению пропал и свойства этой пропорции были практически забыты. Влечение к “божественному сечению” резко возросло в эпоху Ренессанса. Известный ученый, монах-минорит францисканского ордена Л. Пачоли ди Борго посвятил этой пропорции восторженную книгу “Божественная пропорция” (1509 г.). В этой книге [245] систематически излагались 12 различных свойств гармонической пропорции. Характеризуя эти свойства, Пачолли пользовался весьма сильными эпитетами: “исключительное”, “превосходное”, “замечательное”, “почти сверхъестественное” и т.д. Раскрывая данную пропорцию в качестве универсального отношения и в природе, и в искусстве как совершенство красоты, он называл ее “божественной” и склонен был ее рассматривать как “орудие мышления”, “эстетический закон”, как “принцип мира и природы”. Эта книга сопровождалась прекрасными иллюстрациями Л. да Винчи, который “закрепил” за золотой пропорцией обозначение “золотое сечение” ( sectio aurea ). Вслед за Л. Пачолли И.Кеплер не менее восторженно говорит о золотом сечении, называя его божественным сечением ( sectio divina ). Он писал: “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень” [217, c. 23]. Имеются свидетельства, что И.Кеплер одним из первых обратил внимание на проявления золотого сечения в ботанике. Особенно большой интерес к золотой пропорции проявили ученые, зодчие и художники 15-16 веков, его широко применяли в геометрии, искусстве и особенно в архитектуре. В произведениях Браманте. Л. да Винчи, Рафаэля, Джорджане. Тициана, Микельанджело и других проявляется строгая размерность и гармоничность сюжета, подчиняющаяся золотому сечению. Знаменитые итальянские мастера Страдивариус, Амати и др. применяли геометрию пентаграммы и золотое сечение в очертаниях своих скрипок. Шедеврами древнерусской архитектуры являются церковь Покрова на Нерли (12 в.), собор Василия Блаженного (16 в.), церковь Вознесения села Коломенское под Москвой (16 в.) и др.; в формах этих сооружений использованы элементы золотого сечения [27].

После эпохи Ренессанса интерес к золотому сечению на значительное время прервался и в течение более 200 лет эта пропорция была предана забвению. Лишь во второй половине 19 - начале 20 в.в. появились публикации, в которых золотое сечение впервые было установлено во многих явлениях и закономерностях биологических объектов. Среди них видное место занимают труды А.Цейзинга [296, 297]. Цейзинг рассматривал золотое сечение как основной морфологический закон в природе и искусстве. Он показал, что этот закон проявляется в пропорциях тела человека и в телах красивых животных. Г.Т.Фехнером [200] была установлена связь между психофизическим восприятием человека и “золотыми” формами предметов. Т.Кук [41] уделяет большое внимание изучению роли логарифмической спирали в растительных и животных объектах. Им установлено, что феномен роста в биологических объектах связан со спиралями золотого сечения. О значении золотой пропорции в природе и искусстве пишут Г.Тимеринг [125], Г.Д.Грим [50] и М.Гика [41], которые приводят многочисленные примеры проявлений золотого сечения в явлениях природы и различных прикладных искусствах. Интересные исследования об использовании золотой пропорции в шедеврах музыки, живописи и поэзии были проведены в в России и СССР Э.К.Розеновым [109], Л.Сабанеевым [112], Г.В.Церетели [154], М.А.Марутаевым [89], Н.А.Васютинским [27]. Выдающийся советский режиссер С.М.Эйзенштейн [168] занимался исследованием золотого сечения в кино. Он сознательно использовал золотое сечение при структурном построении фильма “Броненосец Потемкин”, а также при формировании отдельных кульминационных кадров фильма. Большое количество исследований посвящено проявлению золотого сечения в шедеврах древних зодчих и в современной архитектуре [110, 161 и др.]. А.Б.Рыбаков [110] считает, что во многих архитектурных шедеврах древности золотое сечение проявляется по антропологическим признакам, т.к. золотая пропорция четко прослеживается в членении тела человека. Интересно отметить, что установлена связь старинных мер длины (локоть, ступня, различные сажени и т.д.) с золотым сечением. Выдающийся французский архитектор Ле Корбюзье положил золотое сечение в основу своей теории гармонизации в строительстве, известную под названием система “ Модулор ” [82]. В этой системе Ле Корбюзье объединил существующие представления о пропорциях человеческого тела с отношением золотой пропорции.

После некоторого ослабления внимания к золотому сечению в середине нынешнего столетия во второй его половине резко возрос интерес к этой пропорции со стороны многих ученых в различных отраслях знаний. В США начал регулярно выходить журнал “ The Fibonacci Quarterly ”. В СССР публикуется ряд работ, относящихся к разнообразным областям науки: поиску экстремумов унимодальных функций [128], математическом описании принципов оптимизации живых систем [22], организации Солнечной системы [25], теории развития этнических культур [23], лечению некоторых заболеваний человека [54, 118, 124], в экономике [28]. Н.Н.Воробьев [38] показал связь золотого сечения с теорией возвратных рядов, комбинаторной математикой, теорией чисел, геометрией, теорией поисков. Настоящий “взрыв” исследований по проблеме золотого сечения в нашей стране приходится на последние 10-15 лет. В эти годы в СССР и странах СНГ появились крупные работы в различных отраслях знаний, где золотая пропорц ия и ее закономерности использованы как своеобразный методологический принцип, лежащий в основе анализа технических и природных систем, их структурной гармонии.

А.П.Стахов [122] развивает направление по приложению обобщенных золотых сечений и p-чисел Фибоначчи к решению задач математической теории измерений и использованию нетрадиционных методов в теории кодирования информации. Геометрическая интерпретация рекуррентного соотношения для р-чисел Фибоначчи может быть получена, если мы разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы AB/ CB=x. а CB/ ACp = xp. Значение искомого отношения АВ/ СВ сводится к решению алгебраического уравнения

xp+1+ xp - 1 = 0.

Ниже приведены приближенные значения золотых р-пропорций. соответствующие начальным значениям р.

Источник: 314159.ru

Категория: Форекс и биржа

Похожие статьи: